“运筹帷幄，决胜千里”.
运筹学是近十几年形成的新兴学科,它主要运用数学的方法研究各种系统的优化途径和方案,为决策者提供科学决策的依据.它能帮助决策人解决那些可以定量方法和理论化方法来处理的问题,它在工业,商业,农业,交通运输,政府部门和其他方面都有重要的应用,它已成为经济计划,系统工程,现代管理等领域的强有利工具.
运筹学的主要研究对象是各种有组织的系统管理问题及生产经营活动.它的主要研究方法是定量化和模型化方法,尤其是运用各种数学模型发现一些事物的规律从而快速解决问题.他的目的在于针对所研究的系统,寻求一个合理运用人力,物力,财力的最佳方案,发挥和提高系统的效能和效益,最终达到系统的最优目标.
运筹学有以前几个特点:
1. 引进数学的研究方法,以数学为主要研究工具,寻求各种问题最优方案.
2. 系统性.从系统观点出发,研究全局性问题,综合化规律,是系统工程的主要理论基础.
3. 着重实际应用
4. 跨学科性
5. 理论和应用的发展相互促进.
运筹学研究的主要内容:
1. 线性规划,非线性规划,整数规划,动态规划,多目标规划.
这些规划解决对于给定的人力,物力,财力,怎样发挥最大的效益;或对于给定的任务,怎样用最少的人力,物力,财力去完成它.
2. 网络分析.
它主要研究生产组织,计划管理和最短路问题,最小连接问题,最小费用流问题,以及最优分派问题.
3排队论.它在日常生活中的应用广泛,主要解决如何缩短时间,提高服务质量.
4.对策论.它是研究在利益双方发生冲突时,如何制定战略战术取胜.古代的田季赛马就是最好的例子.
5.存储论.它主要是研究在决策者”举棋不定”时,在众多的方案中选取最佳方案.
6.可靠性理论.主要研究的是如何确保系统设备的工作可靠性.
7.模型论.从理论和方法的基础上建立数学模型,从而更直接清晰的研究事物的规律变化.
8.投入生产论.研究多个部门的投入产出所遵守的综合平衡原则以制定出发展计划,借以进行宏观调空,合理协调发展.
运筹学的发展前景:
1. 运筹学的研究理论将进一步系统深入发展.
2. 运筹学将向着新的领域发展
3. 运筹学将分散融与其他学科,并综合其他学科平衡发展.
4. 运筹学的数学模型问题将会受到越来越多的重视.
5. 运筹学的发展将进一步依赖与计算机的应用和发展.
线性规划-数学模型
数学模型三要素:决策变量、目标函数、约束条件。
数学模型的特点：1。解决问题时目标函数是决策变量的线形函数。求最大或最小值。
2．约束条件是一组多个决策变量的线形不等式或等式组成。
例题： 生产问题 .
1.某企业在计划期内生产甲、乙、丙三种产品。分别需在设备ＡＢ上加工。需要消耗材料Ｃ、Ｄ，按工艺资料规定 ，单件产品在不同的设备上加工及所需的资料如下表所示。已知在计划期内设备的加工能力各为２００台时，可供材料分别为３６０、３００公斤；每生产一件甲乙丙三种产品，企业可获得的利润分别为３０、４０
、５０元。假定市场需求无限制，企业决策者 应该如何安排生产计划，使企业在计划期内总的利润最大。
产品资源消耗
产品 消耗 |
甲 |
乙 |
丙 |
现有资源 |
资源 | ||||
设备A 设备B 材料C 材料D | 3 2 4 2 | 1 2 5 3 | 2 4 1 5 | 200 200 360 300 |
利润(元/件) | 40 | 30 | 50 |
|
解：这样一个规划问题可用数学的语言来描述，即可以用数学模型来表示。假设在计划期内生产三种产品的产量分别为代定未知数ｘ１，ｘ２，ｘ３，称为决策变量。用Ｚ表示利润。企业的目标是使利润达到最大，即目标函数达到最大值。
数学模型为
目标函数:maxZ=4x1+30x2+50x3,
约束条件ST :3x1+x2+2x3<=200
2x1+2x2+4x3<=200
4x1+5x2+x3<=360
2x1+3x2+5x3<=300
X1>=0,x2>=0,x3>=0
例题2。均衡配套生产问题。
某产品由两件甲和2件乙组成，两种零件必须在设备AB上加工。每件甲在设备AB上加工的时间分别为5。9分钟，每件乙在AB上加工的时间分别为4。10分钟，现有2台设备A，和三台设备B，每天可供加工8小时。为保持两设备均衡负荷生产，要求每种设备每天加工总时间不超过另一种设备总时间的1小时。问怎样安排时间使每天产品产量最大？
解：设X1，X2为每天加工的甲乙两种零件的件数，Z为产量。则产品的产量为
y=min(1/2 x1,1/2 x2)
设备AB每天加工时的约束为
5x1+4x2<=2*8*60
9x1+10x2<=3*8*60
要求一种设备每台每天的加工时间不超过另一种设备1小时的约束为
|(5x1+4x2)-(9x+ 10x2)|<=60
约束线形化,将绝对值约束写成两个不等式
(5x1+4x2)-(9x+ 10x2)<=60
-(5x1+4x2)+ (9x+ 10x2)<=60
目标函数线形化,产品产量Y等价于
y<=1/2x1,y<=1/3x2
建立数学模型：
目标函数maxZ=y
约束条件ST:
y<=1/2x1
y<=1/3x2
5x1+4x2<=960
9x1+10x2<=1440
-4x1-6x2<=40
4x1+6x2<=60
y,x1,x2>=0
例题3。运输问题。
有A1，A2，A3，三个产粮区，可供应粮食分别为10，8，5（万吨）。现将粮食运往B1，B2，B3，B4四个地区，其需求量分别为5，7，8，3（万吨）。产粮地到需求地的 运价 如表所示。问如何安排一个运输计划，使总的运输费用最少？
运价表
需求地 产粮地 |
B1
|
B2 |
B3 |
B4 |
供给量 |
A1 A2 A3 | 3 5 4 | 2 3 1 | 6 8 2 | 3 2 9 | 10 8 5 |
需求量 | 5 | 7 | 8 | 3 | 合计：23 |
设Xij（i=1，2，3；j=2，3，4）为i个产粮地运往第j个需求地的运量（万吨），Z为总的运输费用。
建立数学模型：
1），使总的运输费用最少，则目标函数为
Z=3x11+2x12+6x13+3x14+5x21+3x22+8x23+2x24+4x31+x32+2x33+9x34
实际总运费等于Z乘以10000。
2），各产地的 供给量与运出量的平衡方程
X11+x12+x13+x14=10
X21+x22+x23+x24=8
X31+x32+x33+x34=5
3），供给各需要地的供给量和需求量平衡方程
X11+x21+x31=5
X12+x22+x32=7
X13+x23+x33=8
X14+x24+x34=3
4），粮食的运量应大于或等于零，即，Xij>=0,i=1,2,3;j=1,2,3,4
例题4,指派问题.
某公司拟将四种新产品配置到四个工厂生产,四个工厂的单位产品成本(元/件)如表示,求最佳的生产配置方案.
解:找出效率距阵每行的最小元素,并分别从每行中减去最小元素,有
[58 69 180 260]58 [0 11 122 202]
[75 50 150230]50----------- [25 0 100 180]
[65 70 170250]65----------- [0 5 105 185]
[82 55 200280]55 [27 0 145 255]
第2步，找出句阵的每列的最小元素，再分别从每列中减去，有
[0 11 122 202] [0 11 22 22]
[25 0 100 180]-----------[25 0 0 0]
[0 5 105 185]------------[0 5 5 5 ]
[27 0 145 255] [27 0 45 45]
第3步，用最少的直线覆盖所有的“0“
[0 11 22 22]
[25 0 0 0]
[0 5 5 5 ]
[27 0 45 45]
第4步，可以看出最少可以用3条直线覆盖所有的0，进行下一轮计算
。
。
。
根据数学模型的句阵原理可以方便的解决问题。
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